RUMUS - RUMUS ANTRIAN

RUMUS-RUMUS TEORI ANTRIAN


I. BALANCE EQUATION FOR THE BIRTH AND DEATH PROCESS
• Proses Kelahiran dan Kematian
• Gambar : Rate Diagram

Status Rate In = Rate Out
0 μ1.P1 = λ0.P0
1 λ0.P0 + μ2.P2 = (μ1 + λ1).P1
2 λ1.P1 + μ3.P3 = (μ2 + λ2).P2
. .
. .
n-1 λn-2.Pn-2 + μn.Pn = (μn-1 + λn-1).Pn-1
n λn-1.Pn-1 + μn+1.Pn+1 = (μn + λn).Pn
. .
. .

Status
0 P1 = (λ0/μ1).P0
1 P2 = (λ1/μ2).P1 = (λ1.λ0/μ2.μ1).P0
2 P3 = (λ2/μ3).P2 = (λ2.λ1.λ0/ μ3.μ2.μ1).P0
. .
. .
n-1 Pn = (λn-1/μn).Pn-1 = (λn-1.λn-2....λ0/ μn.μn-1...μ1).P0
n Pn+1 = (λn/μn+1).Pn = (λn.λn-1....λ0/ μn+1.μn...μ1).P0
.
.

Dengan notasi : Cn = (λn-1.λn-2....λ0/ μn.μn-1...μ1) untuk n = 1,2, ..., dan Cn = 1 untuk n = 0; maka probabilitas steady state adalah :

Pn = Cn.P0 untuk n = 0,1,2, ...
misal, untuk n = 0  P0 = C0.P0 = 1.P0
untuk n = 1  P1 = (λ0/μ1).P0
untuk n = 2  P2 = (λ1.λ0/ μ2.μ1).P0
untuk n = 3  P3=(λ2.λ1.λ0/ μ3.μ2.μ1).P0
dst.
• Kinerja Sistem Antrian (SA) yang dibahas adalah kinerja SA pada kondisi steady state.
• Arti dan contoh sistem dalam kondisi steady state
• Pada SA, syarat perlu untuk terjadinya kondisi steady state adalah : λ/(s.μ) < 1

Karena Pn adalah probabilitas (steady state), maka :

, atau , maka :

, dan
dimana adalah laju kedatangan rata-rata (dalam jangka panjang).


II. KARAKTERISTIK OPERASI SISTEM ANTRIAN (SA) :

A. MODEL DASAR : (M/M/s)
1. INPUT : Poisson
2. OUTPUT : Poisson
3. SUMBER INPUT : Tidak Terbatas
4. PANJANG ANTRIAN : Tidak Dibatasi
5. JENIS PELANGGAN : Tanpa Prioritas
SINGLE SERVER (s = 1)
(M/M/1) MULTIPLE SERVER (s > 1)
(M/M/s)
1. P0 = (1- ),

dimana  = λ/μ a) P0 =

b) Pn = n.P0 b) Pn =
(1) Bila 0 n  s

(2) Bila n ≥ s


c) Lq =
c) Lq =

d) L = /( - ) d) L =

e) Wq =
e) Wq =

f) W =
f) W =

g) Utilisasi server :  = / g) Utilisasi server :  = /s.

B. VARIASI MODEL DASAR : PANJANG ANTRIAN DIBATASI

1. INPUT : Poisson
2. OUTPUT : Poisson
3. SUMBER INPUT : Tidak Terbatas
4. PANJANG ANTRIAN : Dibatasi *)
Jumlah Pelanggan di dalam SA dibatasi maksimum sebanyak K pelanggan. Bila terdapat sejumlah K pelanggan dalam SA, maka kedatangan pelanggan berikutnya DITOLAK.

SINGLE SERVER (s = 1)
(M/M/1/K) MULTIPLE SERVER (s > 1)
(M/M/s/K)
Pada model ini, persyaratan λ < μ
(yakni ρ = λ/μ < 1) tidak harus dipenuhi. Pada model ini, persyaratan λ < s.μ
(yakni ρ = λ/s.μ < 1) tidak harus dipenuhi.
a) P0 = , dimana  = λ/μ
a) P0 =


1. Pn =
untuk n = 0,1,2, ..., K b) Pn =
(1) Bila n = 1,2, ...,s

(2) Bila n = s, s+1, ..., K.

(3) Bila n > K.
0
c) Lq = L – (1-P0) c) Lq =


d) L =
d) L =


e) Wq =
e) Wq =

f) W =
f) W =

g) = λ(1-PK)
g) = λ(1-PK)


C. VARIASI MODEL DASAR : SUMBER INPUT TERBATAS
1. INPUT : Poisson
2. OUTPUT : Poisson
3. SUMBER INPUT : Terbatas, sejumlah M pelanggan saja *) Karena jumlah sumber input terbatas, maka laju kedatangan pelanggan pada SA tergantung pada jumlah pelanggan yang sedang berada di dalam SA.
4. PANJANG ANTRIAN : Tidak Dibatasi
5. JENIS PELANGGAN : TANPA PRIORITAS

SINGLE SERVER (s = 1)
MULTIPLE SERVER (s > 1)
a) P0 =
a) P0 =


b) Pn =
b) Pn =
(1) Bila n = 1,2, ...,s

(2) Bila n = s, s+1, ..., M.

(3) Bila n > M.
0
c) Lq =
c) Lq =

d) L =
d) L =

e) Wq =
e) Wq =

f) W =
f) W =

g)
g)